VEKTOR

1. DEFINISI VEKTOR

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Dalam ilmu Fisika, banyak besaran yang termasuk vektor, di antaranya perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan momentum.

Selain besaran vektor, ada juga besaran yang hanya memiliki nilai. Besaran seperti ini disebut besaran skalar. Besaran yang termasuk besaran skalar, di antaranya massa, waktu, kuat arus, usaha, energi, dan suhu.

Sebuah vektor digambarkan oleh sebuah anak panah. Panjang anak panah mewakili besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah mewakili arah vektor. Notasi atau simbol sebuah vektor dapat menggunakan satu atau dua huruf dengan tanda panah di atasnya, misalnya  atau  .

Gambar dibawah ini menunjukkan gambar beberapa vektor dengan notasinya. 

Titik A disebut titik pangkal vektor dan titik B disebut ujung vektor. Besar sebuah vektor dapat ditulis dengan beberapa cara, di antaranya dengan memberi tanda mutlak (||) atau dicetak miring tanpa ditebalkan. Sebagai contoh, besar vektor A ditulis |A|atau A dan besar vektor B ditulis |B|atau B. Arah sebuah vektor dinyatakan oleh sudut tertentu terhadap arah acuan tertentu. Umumnya, sudut yang menyatakan arah sebuah vektor dinyatakan terhadap sumbu-x positif. Gambar 2. memperlihatkan tiga buah vektor A, B, dan C dengan arah masing-masing membentuk sudut 45°, 90°, dan 225° terhadap sumbu-x positif.

Vektor Posisi Dan Vektor Satuan

Jika kita ingin menyatakan letak atau posisi sebuah titik dalam suatu bidang datar, maka kita membutuhkan suatu sistem koordinat (misalnya sumbu x dan sumbu y). Dengan O. Jika koordinat P adalah (3,4), maka jarak OP haruslah sama dengan 5 cm dan posisi titik P terhadap titik acuan O dapat dinyatakan sebagai vektor posisi yang dituliskan sebagai (P) .

Sebuah vektor satuan adalah vektor tak berdimensi yang didefinisikan mempunyai besar 1 dan menunjuk ke suatu arah tertentu. Dalam sistem koordinat biasanya digunakan lambang khusus i, j, dan k untuk menyatakan vektor satuan dalam arah sumbu x, y, dan x positif berturut-turut. Perhatikan bahwa i, j, dan k tidak harus terletak pada titik asal koordinat. Seperti halnya vektor-vektor lain, vektor satuan dapat ditranslasikan ke mana saja dalam ruang koordinat, asalkan arahnya terhadap sumbu koordinat tidak berubah.

Vektor Axi adalah hasil kali komponen Ax dengan vektor satuan i. Vektor ini adalah vektor sejajar dengan sumbu x. Sehingga vektor A dapat ditulis sebagai jumlahan tiga vektor yang masing-masing sejajar terhadap sumbu koordinat :

A = Axi + Ayj + Azk

Komponen Vektor

Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut ke garis tadi. Gambar dibawah menunjukkan vektor A yang berada pada bidanh xy. Vektor ini mempunyai komponen Ax dan Ay. Secara umum komponen-komponen ini dapat bernilai positif atau negatif. Jika θ adalah sudut antara vektor A dengan sumbu x, maka :

Komponen Vektor A

Dimana A adalah besar dari vektor A, sehingga komponen-komponen vektor A dapat diperoleh :

Ax = A cos θ Ay = A sin θ

Tetapi jika kita telah mengetahui komponen Ax dan Ay, serta sudut θ, maka besar vektor A dapat diperoleh dengan menggunakan teorema Pythagoras :

A = 

2. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR

Untuk melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan terhadap dua vektor atau lebih, kita bisa memakai 3 cara atau metode yaitu:

a. Metode Jajar Genjang

Metode jajar genjang adalah metode menentukan resultan vektor dengan memodifikasi titik himpit dan arah vektor. Dua vektor dengan pangkal berimpit digambar sebagai dua sisi yang berdekatan dari sebuah bangun jajar genjang, maka jumlah vektornya adalah sama dengan vektor diagonal yang pangkalnya sama dengan pangkal kedua vektor yang berhimpit tadi. Ilustrasinya.

Dua vektor (Vektor A dan Vektor B) sebelumnya terpisah, kemudian kita himpitkan pangkalnya sehingga membentuk sudut α sehingga masing-masing vektor menjadi sisi-sisi yang berdekatan dari sebuah jajar genjang seperti gambar di bawah ini

Resultan vektor yang terbentuk akan berada di antara vektor A dan B dan membentuk sudut α1 dengan vektor A dan sudut α2 dengan vektor B.

Rumus Penjumlahan Vektor

Pada metode jajar genjang resultan dua vektor dapat dicari dengan rumus

Sekarang, yang sering ditanyakan adalah bagaimana mencari sudut resultannya? Untuk mencari Sudut resultan bisa menggunakan aturan sinus pada segitiga.

Asal rumus tersebut dari ilustrasi di bawah ini.

Rumus Pengurangan Vektor

Untuk pengurangan vektor prinsipnya sama saja. Tidak perlu bingung. Misal ada 2 buah vektor berhimpit seperti gambat dibawah ini

Jika dibuat pengurangan vektor A-B maka sobat cukup merubah arah vektor B sehingga ujung jadi pangkal dan pangkal jadi ujung. Perhatikan gambar di atas.

Rumusnya pun sama dengan rumus Penjumlahan tapi dengn sudut yang berbeda. Sekarang sudut yang dibentuk antara vektor A dan B adalah 180º – α. Karena di kuadran dua nilai cosinus adalah negatif maka Cos (180º-α) = – cos α

Contoh Soal

Ada dua buah vektor yaitu Vektor A dan Vektor B yang masing-masing besarnya 20 dan 10 satuan. Jika sudut antara kedua vektor tersebut adalah 60º tentukan besar resultan vektor A-B dan sudut dari Resultan tersebut.

Jawab.

Besarnya sudut apit antara vektor A dan -B = 180º – 60º = 120º

Cos 120º = -1/2

Sudut Vektor Resultan

Dari Vektor A = α2

Dari Vektor B = α1

b. Metode Segitiga

Metode ini mirip dengan metode jajar genjang. Penjumlahan atau selisih dua buah vektor dapat diselesaikan menggunakan metode segitiga dengan langkah-langkah

a. Pangkal dari Vektor Keuda diletakkan pada ujung vektor pertama.

b. Reasul hasil penjumlahan digambarkan kedua.

Rumus nya

 γ = sudut apit atau sudut terkecil yang debentuk oleh vektor A dan B

c. Metode Penguraian Vektor atau Vektor Komponen

Alternatif lain menentukan resultan vektor bisa dengan menguraikan setiap vektor ke komponen x dan y nya. Contonya sebagai berikut, ada sebuah vektor dengan panjang 20 satuan dan membentuk sudut 60º dengan sumbu x maka cara penguraiannya

Fx = F cos α

Fy = F sin α

Fx = 20 cos 60º = 20 0,5 = 10

Fy = 20 sin 60º = 20 0,5√3 = 10 √3

Untuk rumus resultan vektornya menggunakan

Untuk mencari sudutnya menggunakan aturan tangen dimana

Contoh Soal

Ada dua buah vektor gaya F1 dan F2 bertitik tangakap di 0 seperti gambar di bawah ini. Tentukan resultan vektor tersebut dan sudutnya dari sumbu x positif.

Jawab

Sudut antara vektor F1 dan sumbu x positif adalah θ = 60º, maka

F1x = F1 cos θ = 40 (0,5) = 20

F1y = F1 sin θ = 40 (0,5 √3) = 20 √3

Sudut antara vektor F2 dengan sumbu X positif adalah 90º + 30º = 120º maka

F2x = F2 cos 120 = 20 (-0,5) = -10

F2y = F2 sin 120 = 20 (0,5 √3) = 10√3

Fx total = F1x + F2x = 20 – 10 = 10

Fy total = F1y + F2y = 20 √3 + 10√3 = 30√3

Tan α = Fy / Fx

Tan α = 30√3/10 = 3√3

 α = arc tan 3√3 = 79,1º (bisa menggunakan rumus excel =degrees(atan(3√3))

Jadi resultan dari penjumlahan vektor F1 dan F2 mempunyai sudut 79,1º dari sumbu x positif

3. PERKALIAN VEKTOR

Besaran vektor bisa dikalikan dengan besaran vektor maupun besaran skalar. Ada 3 macam perkalian vektor. Berikut ulasan lengkapnya.

1. Perkalian Skalar dengan Vektor

Skalar bisa dikalikan dengan sebuah vektor. Misal sobat punya nih vektor B yang merupakan hasil perkalian dari skalar k dengan vektor A maka

B = kA

ini juga berlaku untuk untuk bentuk vektor komponen 2 dimensi atau tiga dimensi.

r = xi + yj

kr = kx i + ky j

2. Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik antara dua vektor A.B didefinisikan sebagai suatu skalar yang sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan cosinus sudut apitnya. Jika sobat masih bingung sederhananya secara geometris perkalian titik dari 2 buah vektor adalah hasil kali vektor 1 dengan proyeksi vektor 2 dengan dengan vektor1.

Contoh

Perhatikan gambar vektor A dan B di atas. Pangkal keduanya membentuk sudut sebesar θ maka

Simbol dari perkalian titik adalah (.) yang sering disebut perkalian titik (dot product). Karenan perkalian titik ini menghasilkan skalar maka sering disebut juga dengan scalar product.

Perkalian Titik mempunyai sifat distributif sehingga

A.(B+C) = A.B + A.C

Pada perkalian titik juga berlaku sifat komutatif

A.B = B.A

Berikut beberapa hal yang penting dalam perkalian titik

1. Pada perkalian titik dua vektor berlaku sifat distributif sebagaimana dijelaskan di atas.
2. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (sudut apit teta = 90º) maka  A.B = 0
3. Jika kedua vektor searah A dan B (sudut apit teta = 0º) maka  A.B = AB
4. Jika kedua vektor A dan B berlawan arah (sudut apit teta = 180º) maka A.B = -AB

Perkalian Titik Menggunakan Vektor Satuan

Untuk melakukan perkalian titik dari vektor satuan terlebih dahulu kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya. vektor A dan B kita uraikan dulu

A –> Ax î + Ay ĵ + Az k̂
B –> Bx î + By ĵ + Bz k̂

Sekarang kita cari tahu hasil perkalian vektor komponen dari A dot B kemudian kita uraikan perkaliannya.

karena vektor komponen i,̂ j, dan̂ k̂ adalah vektor komponen yang saling tegak lurus dengan membentuk sudut 90º maka perkalian titiknya

i x i = j x j = k x k = (1) . (1) cos 0º = 1 (berhimpit)
i x j = i x k = j x k = (1).(1) cos 90º = 0 (tegak lurus)

A.B = (Ax î, Ay ĵ ,Az k̂) (Bx î + By ĵ + Bz k̂)
A.B = Ax î × Bx î + Ax î × By ĵ + Ax î × Bz k̂ + Ay ĵ × Bx î + Ay ĵ × By ĵ +Ay ĵ ×Bz k̂ + Az k̂ × Bx î +

          Az k̂ × By ĵ + Az k̂ × Bz k̂
A.B = Ax î × Bx î + 0+ 0 + 0 + Ay ĵ × By ĵ +0 + 0̂ + 0 + Az k̂ × Bz k̂
A.B = Ax î × Bx î + Ay ĵ × By ĵ + Az k̂ × Bz k̂
       = Ax î × Bx î + Ay ĵ × By ĵ + Az k̂ × Bz k̂


–> karena i x i = j x j = k x k = (1) . (1) cos 0º = 1 maka

A.B = AxBx̂ + AyBŷ + AzBz

3. Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silanga A x B pada vektor didefinisikan sebagai suatu vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang dimana vektor A dan B berada dan mengikuti aturan tangan kanan, sementara besarnya vketor tersebut sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis dirumuskan

A x B = A sin θ

Berikut adalah hal-hal penting dalam perkalian silang dua buah vektor

1. Nilia 0º Pada perkalian titik dua vektor berlaku sifat distributif sebagaimana dijelaskan di atas.
2. Perkalian silang bersifat anti komutatif  A x B = -B x A
3. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus yaitu sudut apit teta = 90º maka |A x B| = AB
4. Jika kedua vektoe A dan B segaris (teta = 0º) dapat searah atau verlawanan maka A x B = 0

Untuk lebih memahami perkalian vektor dan juga penentuan arah menggunakan kaidah tangan kanan silahkan perhatikan ilustrasi berikut

Misalnya perkalian silang dua vektor A dan vektor B kita tuliskan sebagai A x B (A silang B). Perkalian silang ini hasilnya adalah berupa vektor C. Karena berupa vektor maka ia punya besar dan juga arah.

Besar Vektor Hasil Perkalian Silang

Sesuai rumus di atas, kita dapat menyimpulkan besarnya hasil perkalian silang vektor A dan B (A x B) adalah hasil kali vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus dan sebidang dengan vektor A.

A x B = A (B sin θ) = AB sin θ

Bagiaman kalau kita balik menjadi perkalian silang vektor B dengan vektor A?

Kita buat ilustrasinya terlebih dahulu seperti gambar di bawah ini

Dari gambar di atas perkalian silang antara vektor B dan vektor A adalah hasil kali besar vektor B dengan komponen vektor A yang tegak lurus dan sebidang dengan vektor B.

B x A = B (A sin θ) = BA sin θ

Arah Vektor Hasil Perkalian Silang

Sekarang bagaimana menetukan arah dari hasil perkalian silang vektor A x B dan B x A?

Arah Hasil Perkalian Silang A x B

Seperti disebutkan sebelumnya perkalian silang hasilnya adalah vektor bukan skalar. Jadi ia juga punya arah. Besarnya hasil perkalian sudah kita temukan rumusnya di atas, sekarang kita akan belajar bagaimana menentukan arahnya. Kita gambar dulu kedua vektor A dan B (vektor A dan B ada bidang datar yang sama)

Kita misalkan hasil perkalian silang A x B adalah vektor C. Arah vektor C nih tegak lurus dengan bidang vektor A dan B. Untuk menentukan arahnya kita bisa menggunakan kaida tangan kanan. Kita menggunakan tangan dengan empat jari digenggamkan dan ibu jari yang diacungkan. Kita genggamkan jari searah dengan arah dari A ke B (karena perkalian silang A x B) sehingga arahnya akan berlawanan dengan arah jarum jam. Kita tegakkan ibu jari dan arah yang ditunjukkan oleh ibu jari tersebut adalah arah vektor C. Ibu jari menunjuk ke atas.

Arah Hasil Perkalian Silang B x A

Caranya seperti sebelumnya karena B x A maka arah genggaman jari (selain ibu jari) sesuai arah B ke A. Arahnya adalah searah dengan arah jarum jam. Maka ibu jari menunjuk kebawah. Simak ilustrasi berikut.

Perkalian Silang dengan Vektor Satuan

Kita dapat menghitung perkalian silang jika kita mengetahui komponen vektor yang diketahui. Cara dan urutannya mirip pada perkalian titik.

• Pertama

Kita lakukan perkalian silang vektor satuan i, j, dan k. (ingar perkalian silang A x B = AB sin θ). Karena ketiga vektor satuan saling tegak lurus maka

i x i = ii sin 0º = 0

j x j = jj sin 0º = 0

k x k = kk sin 0º = 0

maka i x i = j x j = k x k = 0

untuk perkalian silang vektor satuan yang berbeda menggunakan aturan siklus berikut

Aturannya

jika perkalian menurut urutan i -> j -> k maka hasilnya positif (sesuai siklus)

jika perkalian berkebalikan k-> j -> i maka hasilnya adalah negatif (berlawanan siklus)

• Kedua

Kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.

A × B = (Ax î + Ay ĵ + Az k̂) × (Bx î + By ĵ + Bz k̂)
A × B = Ax î × Bx î + Ax î × By ĵ + Ax î × Bz k̂ +
             Ay ĵ × Bx î + Ay ĵ × By ĵ + Ay ĵ × Bz k̂  +
             Az k̂ × Bx î +Az k̂ × By ĵ + Az k̂ × Bz k̂


nah setelah ini sobat bisa pakai aturan siklus pada gambar sebelumnya.
A × B = AxBy k̂ − AxBz ĵ
            −AyBx k̂ + AyBz î
            +AzBx ĵ − AzBy î


dan taraaaa ketemu deh rumus perkalian silang untuk vektor satuan

A × B = (AyBz − AzBy) î + (AzBx − AxBz) ĵ + (AxBy − AyBx) k̂

Contoh Soal !

Diketahui tiga buah vektor:
A = i + 2j - k
B = 4i + 2j + 3k
C = 2j - 3k


Tentukan: 
a. A ∙ ( B × C )
b. A ∙ ( B + C )
c. A × ( B + C )


Jawab:
a. A . (B x C)

•  B x C 

 = ( 4i + 2j + 3k ) × ( 2j -3k )
= ( 4i × 2j ) + (4i × (-3k)) + ( 2j × 2j ) + (2j × (-3k)) + ( 3k × 2j ) + (3k × (-3k))
= 8k + 12j - 6i - 6i
= -12i + 12j + 8k

• A ∙ ( B × C )

= ( i + 2j - k ) ∙ ( -12i + 12j + 8k )
= ( 1 ∙ (-12)) + ( 2 ∙ 12 ) + ((-1) ∙ (8))
= -12 + 24 - 8
= 4



b. A . (B + C )

• B + C

= ( 4i + 2j + 3k ) + ( 2j -3k )
= 4i + 4j

• A ∙ ( B + C )

= ( i + 2j - k ) ∙  ( 4i + 4j )
= ( 1 ∙ 4 ) + ( 2 ∙ 4 ) + ((-1) ∙ 0 )
= 4 + 8
= 12



c. A × ( B + C )

• B + C 

= ( 4i + 2j + 3k ) + ( 2j -3k )
= 4i + 4j

•  A x (B +C)

= ( i + 2j - k ) × ( 4i + 4j )
= ( i ∙ 4i ) + ( i ∙ 4j ) + ( 2j ∙ 4i ) + ( 2j ∙ 4j ) + ((-k) ∙ 4i) + ((-k) ∙ 4j)
= 4k - 8k - 4j + 4i
= 4i - 4j - 4k